Cho hàm số f(x)=x-3 căn bậc 3 x+1+m, đặt

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Xét $f\left(x\right)=x-3\sqrt[3]{x+1}+m$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Với $x\ne -1$ ta có $f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x+1\right)}^2}}$

$f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow x=-2;x=0$

Có $f\left(-1\right)=m-1;f\left(0\right)=m-3;f\left(7\right)=m+1\Rightarrow \underset{\left[-1;7\right]}{\max }f\left(x\right)=m+1;\underset{\left[-1;7\right]}{\min }f\left(x\right)=m-3$

TH1: Với $\left(m+1\right)\left(m-3\right)\le 0\iff m\in \left[-1;3\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0\le m+1\le 4\\ -4\le m-3\le 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0\le {\left(m+1\right)}^2\le 16\\ 0\le {\left(m-3\right)}^2\le 16\end{array}\right.$

Khi đó ta có $\underset{\left[-1;7\right]}{\min }{\left[f\left(x\right)\right]}^2=0;\underset{\left[-1;7\right]}{\max }{\left[f\left(x\right)\right]}^2=\max \left\{{\left(m+1\right)}^2;{\left(m-3\right)}^2\right\}\le 16\Rightarrow P\le 16.$ Vậy các giá trị $m\in \left[-1;3\right]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: Với $\left(m+1\right)\left(m-3\right)>0\iff m\in \left(-\infty -1\right)\cup \left(3;+\infty \right)\Rightarrow P={\left(m+1\right)}^2+{\left(m-3\right)}^2=2m^2-4m+10$

Theo bài $P\le 26\iff 2m^2-4m+10\le 26\iff m^2-2m-8\le 0\iff m\in \left[-2;4\right]\Rightarrow m\in \left[-2;1\right)\cup \left(3;4\right]$

Kết hợp hai trường hợp suy ra $m\in \left[-2;4\right]\Rightarrow$ có 7 giá trị nguyên của m.