Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi $O=AC\cap BD$ khi đó $SO\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SO$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD.

Trong mặt phẳng (SAO) gọi giao của đường trung trực của SA với SA là E và SO là I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD. Do đó bán kính là $R=SI=\frac{S{A}^2}{2SO}\left(1\right)$

Do $AO=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}$ và $\widehat{SAO}={60}^0$ nên $SO=\frac{5\sqrt{3}}{2};SA=5\Rightarrow R=\frac{5^2}{2.\frac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$

Thể tích khối cầu $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .{\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)}^3=\frac{500\sqrt{3}}{27}\pi .$