Cho các số thực x;y với x lớn hơn bằng 0

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

+ Ta có $$\begin{gathered} e^{x+3y}+e^{xy+1}+x\left(y+1\right)+1=e^{-xy-1}+\frac{1}{e^{x+3y}}-3y\iff e^{x+3y}-\frac{1}{e^{x+3y}}+x+3y \\ =e^{-xy-1}-\frac{1}{e^{-xy-1}}+\left(-xy-1\right)\left(*\right). \end{gathered}$$

+ Đặt $f\left(t\right)=e^t-\frac{1}{e^t}+t\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=e^t+\frac{1}{e^t}+1>0,\forall t\in ℝ.$ Nên hàm số f(t) đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ nên $\left(*\right)\iff f\left(x+3y\right)=f\left(-xy-1\right).$ Do đó $x+3y=-xy-1\iff y=-\frac{x+1}{x+3}\Rightarrow T=x+1-\frac{2x+2}{x+3}=g\left(x\right)$

$g\text{'}\left(t\right)=1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}\ge 0,\forall x\ge 0$ nên g(x) đồng biến trên $\left[0;+\infty \right).$ Suy ra $MinT=\underset{\left[0;+\infty \right)}{Min}g\left(x\right)=g\left(0\right)=\frac{1}{3}.$