Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=2a

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi D là trung điểm SB, ta có $SD=\frac{1}{2}AB=a.$

Gọi E là điểm trên cạnh SC sao cho $SE=\frac{1}{4}SC,$ ta có $SE=\frac{1}{4}SC=a.$

Vì $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={60}^0$ và $SA=SE=SD=a$ nên SAED là tứ diện đều cạnh a.

Tứ diện đều SAED có $S_{ADE}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},SH=\sqrt{S{E}^2-E{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

$V_{SAED}=\frac{1}{3}.S_{ADE}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Mặt khác, $\frac{V_{SAED}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SB}.\frac{SE}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.$ Vậy $V_{S.ABC}=8V_{SAED}=8.\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}.$