Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có $V=\pi r^{2}h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}.$

$$\begin{gathered} S_{\text{toaøn phaàn}}=S_{\text{xung quanh}}+2S_{\text{ñaùy}}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r.\frac{V}{\pi r^2}+2\pi r^2=\frac{2V}{r}+2\pi r^2 \\ =\frac{V}{r}+\frac{V}{r}+2\pi r^2. \end{gathered}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $\frac{V}{r},\frac{V}{r},2\pi r^2$ ta có $\frac{V}{r}+\frac{V}{r}+2\pi r^2\ge 3\sqrt[3]{2\pi V^2}.$

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{V}{r}=2\pi r^2\iff r^3=\frac{V}{2\pi }\iff r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}.$

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy của vỏ hộp sữa phải bằng $\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}.$