Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trường hợp 1: $\cos x=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\forall x\in ℝ$ (loại).

Trường hợp 2: $\cos x\ne 0,$ khi đó

$\cos x.f\text{'}\left(x\right)+\sin x.f\left(x\right)=2\sin x.{\cos }^{3}x\iff \frac{\cos x.f\text{'}\left(x\right)-\left(\cos x\right)\text{'}.f\left(x\right)}{{\cos }^{2}x}=\sin 2x$

$\iff \left(\frac{f\left(x\right)}{\cos x}\right)\text{'}=\sin 2x\iff \underset{}{\overset{}{\int }}{\left(\frac{f\left(x\right)}{\cos x}\right)}^{\text{'}}dx=\underset{}{\overset{}{\int }}\sin 2xdx\iff \frac{f\left(x\right)}{\cos x}=\frac{-1}{2}\cos 2x+C.$

Theo bài, $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{9\sqrt{2}}{4}\Rightarrow C=\frac{9}{2}\Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos 2x.\cos x+\frac{9}{2}\cos x.$

Vậy $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{19}{8}\in \left(2;3\right).$