Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi I là trung điểm CD do ABCD là hình chóp tứ giác đều nên dễ thấy $OI\perp CD,SI\perp CD$.

Ta có $OD\perp AC,OD\perp SO\Rightarrow OD\perp \left(SAC\right).$ Dựng $OH\perp SC\Rightarrow DH\perp SC$ (định lý ba đường vuông góc). Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAC) là góc $\widehat{DHO}.$

Ta có: $$\begin{gathered} IC=OI=\frac{a\sqrt{2}}{2},OC=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=a,SC=2a\Rightarrow SI=\sqrt{S{C}^2-I{C}^2} \\ =\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}. \end{gathered}$$

Xét tam giác SCD ta có: $S_{\Delta SCD}=\frac{CD.SI}{2}=\frac{DH.SC}{2}\iff \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{14}}{2}}{2}=\frac{DH.2a}{2}\iff DH=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$

Xét tam giác vuông SOC  ta có: $$\begin{gathered} SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3};\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{C{O}^2}=\frac{1}{O{H}^2}\iff \frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{O{H}^2} \\ \iff OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gathered}$$

Xét tam giác vuông DOH ta có: $\cos \widehat{DHO}=\frac{OH}{DH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$