Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=a

* Hướng dẫn giải

Chọn B

$\Delta ABC$ vuông tại C có $\left\{\begin{array}{l}BC=AB.\sin \widehat{CAB}=2a.\sin {30}^0=a\\ AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-a^2}=a\sqrt{3}\end{array}\right..$

$\Delta SAC$ vuông tại A có AH là đường cao nên $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$

$\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}\iff AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Ta có $HC=\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\frac{2a\sqrt{21}}{7}\right)}^2}=\frac{3a}{2}$

Suy ra $S_{AHC}=\frac{1}{2}AH.HC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}.$

Mà $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AC\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp \left(HAC\right).$

Suy ra $V_{H.ABC}=\frac{1}{3}BC.S_{AHC}=\frac{1}{3}.a.\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}.$

Vì B' đối xứng với B qua mặt phẳng (SAC) nên $V_{H.AB\text{'}B}=2V_{H.ABC}=2.\frac{a^3\sqrt{3}}{8}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$ (đvtt)