Xét các số thực dương a,b,x,y thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có $a^{2x}=b^{3y}={\left(ab\right)}^6\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^{2x}=a^6{b}^6\\ b^{3y}=a^6{b}^6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x={\log }_a\left(a^6{b}^6\right)\\ 3y={\log }_b\left(a^6{b}^6\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\left(1+{\log }_{a}b\right)\\ y=2\left(1+{\log }_{b}a\right)\end{array}\right..$

Vì a>1,b>1 nên ${\log }_{a}b>0.$

Do đó $P=3xy+2x+y=18\left(1+{\log }_{a}b\right)\left(1+{\log }_{b}a\right)+6\left(1+{\log }_{a}b\right)+2\left(1+{\log }_{b}a\right)$

$=44+24{\log }_{a}b+20{\log }_{b}a=44+4\left(6{\log }_{a}b+5{\log }_{b}a\right).$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương, ta có $6{\log }_{a}b+5{\log }_{b}a\ge 2\sqrt{6{\log }_{a}b.5{\log }_{b}a}=2\sqrt{30}.$

Khi đó $P\ge 44+4.2\sqrt{30}=44+8\sqrt{30}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $6{\log }_{a}b=5{\log }_{b}a.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $44+8\sqrt{30}$.

Suy ra $m=44,n=8.$ Vậy $m-2n=28.$