Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

- Sử dụng định lí: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này tới mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.

- Đổi tính khoảng cách từ chân đường vuông góc với mặt phẳng, sử dụng công thức $AA\text{'}\cap \left(P\right)=M\Rightarrow \frac{d\left(A;\left(P\right)\right)}{d\left(A\text{'};\left(P\right)\right)}=\frac{AM}{A\text{'}M}$.

- Dựng khoảng cách, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Ta có $AB//CD\Rightarrow AB//\left(SCD\right)\supset SC\Rightarrow d\left(AB;SC\right)=d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)$

Mà $AO\cap \left(SCD\right)=\left\{C\right\}\Rightarrow \frac{d\left(A;\left(SCD\right)\right)}{d\left(O;\left(SCD\right)\right)}=\frac{AC}{OC}=2\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)$

Gọi M là trung điểm của CD.

Vì OM là đường trung bình của tam giác $ACD\Rightarrow OM//AD\Rightarrow OM\perp CD$ và $OM=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}CD\perp OM\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOM\right)$.

Trong (SOM) kẻ $OH\perp SM \left(H\in SM\right)$ ta có $\left\{\begin{array}{l}OH\perp SM\\ OH\perp CD \left(CD\perp \left(SOM\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow OH\perp \left(SCD\right)$

$\Rightarrow d\left(O;\left(SCD\right)\right)=OH\Rightarrow d\left(AB;SC\right)=2OH$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM ta có $OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}}=\frac{a.\frac{a}{2}}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$

Vậy $d\left(AB;SC\right)=2OH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$