Cho bất phương trình log 3(x^2-x+2)

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

${\log }_3\left(x^2-x+2\right)+1\ge {\log }_3\left(x^2+x+m-3\right)\forall x\in \left[0;6\right]$

$\iff \left(x^2-x+2\right)3\ge \left(x^2+x+m-3\right)>0,\forall x\in \left[0;6\right]$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+x+m-3>0\\ 2x^2-4x-m+9\ge 0\end{array}\right.,\forall x\in \left[0;6\right]$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>-x^2-x+3\\ m\le x^2-4x+9\end{array}\right.,\forall x\in \left[0;6\right]\left(1\right)$

Ta có $-x^2-x+3\le 3,\forall x\in \left[0;6\right].$ Dấu “=” xảy ra khi x=0

Suy ra $\underset{x\in \left[0;6\right]}{\max }\left(-x^2-x+3\right)=3.$

Lại có $2x^2-4x+9=2{\left(x-1\right)}^2+7\ge 7,\forall x\in \left[0;6\right].$ Dấu “=” xảy ra khi x=1

Suy ra $\underset{x\in \left[0;6\right]}{\min }\left(2x^2-4x+9\right)=7.$

Vậy $\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}m>3\\ m\le 7\end{array}\right.\iff 3<m\le 7.$ Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên ta được $m\in \left\{4;5;6;7\right\}$ (4 giá trị nguyên).