Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

* Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có $\left\{\begin{array}{l}SA\perp AC\\ SA\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow SA\perp \left(ABCD\right)$.

Gọi M là trung điểm AD

Do $SA=AC=CD=\sqrt{2}a$ nên tam giác ACD vuông cân tại C suy ra $CM\perp AD$, $AD=\sqrt{2}AC=2a,$ $CM=AM=\frac{1}{2}AD=a.$

Từ đó ABCM là hình vuông suy ra $AB\perp AD$.

Lại có $CD//BM\Rightarrow CD//\left(SBM\right)\Rightarrow d\left(CD,AB\right)=d\left(D,\left(SBM\right)\right)=d\left(A,\left(SBM\right)\right)$

Gọi $O=AC\cap BM$

Trong mặt phẳng (SAO): kẻ $AK\perp SO\left(1\right)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BM\perp SA\\ BM\perp CA\end{array}\right.$

$\Rightarrow BM\perp \left(SAO\right)\Rightarrow BM\perp AK\left(2\right)$

Từ (1) và $\left(2\right)\Rightarrow AK\perp \left(SBM\right)$

$\Rightarrow d\left(A,\left(SBM\right)\right)=AK=\frac{SA.AO}{\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}}=\frac{a\sqrt{10}}{5}.$

Có thể tính khoảng cách nhanh theo công thức $AB;AM;AS$ đôi một vuông góc thì $d\left(A,\left(SBM\right)\right)=\frac{SA.SB.SM}{\sqrt{S{A}^2.S{B}^2+S{B}^2.S{M}^2+S{M}^2.S{A}^2}}=\frac{a\sqrt{10}}{5}.$