Cho tứ diện ABCD có góc DAB

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (ABC)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB\perp DH\\ AB\perp AD\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp AH$

Mặt khác: $\left\{\begin{array}{l}CB\perp DH\\ CB\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow CB\perp BH$

Tam giác ABH vuông tại $A,AB=2a,\widehat{ABH}={45}^0\Rightarrow \Delta ABH$ vuông cân tại $A\Rightarrow AH=AB=2a;BH=2a\sqrt{2}.$

Áp dụng định lí cosin, $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$

$$\begin{gathered} B{C}^2+A{B}^2-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}-A{C}^2=0\iff B{C}^2+2a\sqrt{2}BC-16a^2=0 \\ \Rightarrow BC=2\sqrt{2}a \end{gathered}$$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin {135}^0=\frac{1}{2}.2a.2\sqrt{2}a.\frac{\sqrt{2}}{2}=2a^2$

Dựng $\left\{\begin{array}{l}HE\perp DA\\ HF\perp DB\end{array}\right.\Rightarrow HE\perp \left(DAB\right);HF\perp \left(DCB\right)$

Suy ra $\left(\widehat{\left(DAB\right);\left(DCB\right)}\right)=\widehat{\left(HE,HF\right)}=\widehat{EHF}.$ Tam giác EHF vuông tại F.

Đặt DH=x khi đó $EH=\frac{DH.AH}{\sqrt{D{H}^2+A{H}^2}}=\frac{2ax}{\sqrt{4a^2+x^2}},FH=\frac{2a\sqrt{2}x}{\sqrt{8a^2+x^2}}$

$\cos \widehat{EHF}=\frac{EH}{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{8a^2+x^2}}{\sqrt{2}\sqrt{4a^2+x^2}}\Rightarrow 6\left(4a^2+x^2\right)=4\left(8a^2+x^2\right)\Rightarrow x=2a.$

Vậy thể tích của khối tứ diện $ABCD:V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.DH=\frac{1}{3}.2a^2.2a=\frac{4a^3}{3}.$