Cho các số thực x,y thỏa mãn 2021^x^3

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

${2021}^{x^3+\frac{3}{2x^2}-\frac{3}{2}}={\log }_{\sqrt[2021]{2020}}\left[2004-\left(y-11\right)\sqrt{y+1}\right]$

$\iff {2021}^{x^3+\frac{3}{2x^2}-\frac{3}{2}}=2021{\log }_{2020}\left[2004-\left(y-11\right)\sqrt{y+1}\right]$

Ta có: $$\begin{gathered} x^3+\frac{3}{2x^2}=\frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{2}+\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2x^2}\stackrel{cauchy}{\ge }\frac{5}{2},\forall x>0 \\ \Rightarrow VT\ge {2021}^{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}=2021\left(1\right) \end{gathered}$$

Ta có: $2004-\left(y-11\right)\sqrt{y+1}=2004-{\left(\sqrt{y+1}\right)}^3+12\sqrt{y+1}$

Đặt $t=\sqrt{y+1}\Rightarrow t\ge 0.$

$f\left(t\right)=2004-t^3+12t$

$\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=-3t^2+12$

$f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=\pm 2.$

Dựa vào BBT, ta có $f\left(t\right)\le 2020,$ dấu “=” xảy ra $\iff t=2.$

$\Rightarrow VP\le 2021.{\log }_{2020}2020=2021.1=2021\left(2\right)$

Từ (1) và $\left(2\right)\Rightarrow$ Dấu “=” xảy ra đồng thời ở (1) và (2)

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{2}=\frac{1}{2x^2}\\ \sqrt{y+1}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}\right.\Rightarrow P=11.$