Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

$f\text{'}\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}\right.$

$g\left(x\right)=f\left(x^2+3x-m\right)\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=\left(2x+3\right)f\text{'}\left(x^2+3x-m\right)$

Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2+3x-m\right)$ đồng biến trên khoảng (0;2)

$\iff g\text{'}\left(x\right)=\left(2x+3\right).f\text{'}\left(x^2+3x-m\right)\ge 0,\forall x\in \left(0;2\right)$

$\iff f\text{'}\left(x^2+3x-m\right)\ge 0,\forall x\in \left(0;2\right)$

$\iff \left(x^2+3x-m-1\right)\left(x^2+3x-m+3\right)\ge 0,\forall x\in \left(0;2\right)\left(1\right)$

Đặt $t=x^2+3x$

Xét hàm số $h\left(x\right)=x^2+3x,\forall x\in \left(0;2\right)$

$h\text{'}\left(x\right)=2x+3>0,\forall x\in \left(0;2\right)$ nên hàm số h(x) đồng biến trên (0;2)

Do $x\in \left(0;2\right)\Rightarrow t\in \left(0;10\right)$

$\left(1\right)\Rightarrow \left(t-m-1\right)\left(t-m+3\right)\ge 0,\forall t\in \left(0;10\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}10\le m-3\\ 0\ge m+1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 13\\ m\le -1\end{array}\right.$

Mà m là số nguyên thuộc đoạn [-10;20] nên có 18 giá trị của m thỏa điều kiện đề bài