Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

* Ta có: Gọi E là trung điểm của $B{B}_1$ thì E là tâm mặt cầu đường kính $B{B}_1$ bán kính $r=d\left(E;C{C}_1\right)=BC=4a.$ Khi đó: ta có $B{B}_1=8a;AB=2a;AC=2a\sqrt{3}.$

Gọi I,F lần lượt là trung điểm của $A{C}_1$ và AC suy ra $IF//C{C}_1//B{B}_1;IF\perp \left(ABC\right)$

Kẻ $IG\perp B{B}_1$ tại G

Ta có: $IG=BF=\frac{A{C}_1}{2}=R$ là bán kính của mặt cầu có đường kính $A{C}_1$

Đặt $C{C}_1=x\left(x>0\right)$.

Ta có: $R=\frac{A{C}_1}{2}=\frac{\sqrt{{\left(2a\sqrt{3}\right)}^2+x^2}}{2}=\frac{\sqrt{12a^2+x^2}}{2}$

$R=BF=\sqrt{B{A}^2+F{A}^2}=\sqrt{4a^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=a\sqrt{7}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{12a^2+x^2}}{2}=a\sqrt{7}\iff x=4a$

* Kẻ $AH\perp BC$ tại H

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AH\perp BC\\ AH\perp B{B}_1\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(B{B}_1{C}_{1}C\right)$ hay AH là đường cao của hình chóp $A.B{B}_1{C}_{1}C$

* Diện tích tứ giác $B{B}_1{C}_{1}C$ là $S=\frac{1}{2}BC.\left(B{B}_1+C{C}_1\right)=\frac{1}{2}.4a\left(8a+4a\right)=24a^2$

* Chiều cao của hình chóp $d\left(A,\left(B{B}_1{C}_{1}C\right)\right)=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{2a.2a\sqrt{3}}{4a}=a\sqrt{3}$

Thể tích hình chóp $S.B{B}_1{C}_{1}C$ là $V=\frac{1}{3}d\left(A,B{B}_1{C}_{1}C\right).S_{B{B}_1{C}_{1}C}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.24a^2=8\sqrt{3}{a}^3.$