Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi thỏa mãn x+y=1

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

- Rút x theo y hoặc ngược lại.

- Thế vào biểu thức x,y, đưa biểu thức về 1 biến.

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số trên 1 đoạn

Vì $\left\{\begin{array}{l}x, y\ge 0\\ x+y=1\end{array}\right.\Rightarrow 0\le x,y\le 1$ và y=1-x.

Khi đó ta có $x.y=x.\left(1-x\right)=-x^2+x=f\left(x\right)$, với $0\le x\le 1$.

Ta có

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=-2x+1=0\iff x=\frac{1}{2}\in \left[0;1\right] \\ f\left(0\right)=0; f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}; f\left(1\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy $\underset{\left[0;1\right]}{maxf\left(x\right)}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$ hay giá trị lớn nhất của x,y là $\frac{1}{4}$, đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$.

Chú ý khi giải: Các em HS có thể giải quyết bài toán trên bằng cách sử dụng BĐT như sau:

$xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}x=y\\ x+y=1\end{array}\right.\iff x=y=\frac{1}{2}$