Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng

* Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử chóp tam giác đều là S.ABC ta có tam giác ABC đều và $SG\perp \left(ABC\right)$ với G là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của đoạn BC, suy ra $\left\{\begin{array}{l}AG\perp BC\\ SG\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SG\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAG\right)\Rightarrow BC\perp SM.$

Do đó $\left(\left(SBC\right),\left(ABC\right)\right)=\left(SM,AM\right)=\widehat{SMA}={60}^0.$

Gọi cạnh AB=x(x>0) suy ra $AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AM=\frac{x\sqrt{3}}{3};$

$GM=\frac{1}{3}AM=\frac{x\sqrt{3}}{6}.$

Lại có $\tan \widehat{SMA}=\frac{SG}{GM}\iff \tan {60}^0=\frac{SG}{GM}\iff SG=GM.\tan {60}^0\iff SG=\frac{x}{2}.$

Mà tam giác SAG vuông tại $G\Rightarrow S{G}^2+G{A}^2=S{A}^2\iff \frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{3}=\frac{7a^2}{3}\iff x^2=4a^2\iff x=2a.$

Suy ra $SG=a,S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AM.BC=a^2\sqrt{3}.$ Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SG.S_{\Delta ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$