Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5^sin^2 x +5^cos^2 x=2 căn 5

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

- Sử dụng công thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

- Đặt ẩn phụ $t=5^{{\sin }^{2}x} \left(t\ge 1\right)$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

- Giải phương trình tìm t.

- Sử dụng công thức hạ bậc: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm x: $\cos x=\cos \alpha \iff x=\pm \alpha +k2\pi \left(k\in Z\right)$.

- Giải bất phương trình $0\le x\le 2\pi$ và tìm các nghiệm thỏa mãn

Ta có:

$$\begin{gathered} 5^{{\sin }^{2}x}+5^{{\cos }^{2}x}=2\sqrt{5}\iff 5^{{\sin }^{2}x}+5^{1-{\sin }^{2}x}=2\sqrt{5} \\ \iff 5^{{\sin }^{2}x}+\frac{5}{5^{{\sin }^{2}x}}=2\sqrt{5} \end{gathered}$$

Đặt $t=5^{{\sin }^{2}x} \left(t\ge 1\right)$, phương trình trở thành

$$\begin{gathered} t+\frac{5}{t}=2\sqrt{5}\iff t^2-2\sqrt{5}t+5=0 \\ \iff {\left(t-\sqrt{5}\right)}^2=0\iff t=\sqrt{5} \left(tm\right) \\ \Rightarrow 5^{{\sin }^{2}x}=\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\iff {\sin }^{2}x=\frac{1}{2} \\ \iff \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0 \\ \iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \left(k\in Z\right) \end{gathered}$$

Xét $x\in \left[0;2\pi \right]$ ta có $0\le \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\le 2\pi \iff -\frac{1}{2}\le k\le \frac{7}{2}$. Mà $k\in Z\Rightarrow k\in \left\{0;1;2;3\right\}$.

$\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right\}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[0; 2\pi \right]$ là $T=\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}+\frac{5\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}=4\pi$