Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có $y\text{'}=-3x^2+4x-\left(m+2\right)$

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt

 $\iff \left\{\begin{array}{l}-3\ne 0\\ 4-3\left(m+2\right)>0\end{array}\right.\iff m<-\frac{2}{3}.$

Mặt khác $y=\frac{1}{9}\left(3x-2\right)y\text{'}-\frac{2}{9}\left(3m+2\right)x+\frac{1}{9}\left(7m-4\right)$

$y\left(x_1\right)=-\frac{2}{9}\left(3m+2\right)x+\frac{1}{9}\left(7m-4\right),$ vì $y\text{'}\left(x_1\right)=0.$

$y\left(x_2\right)=-\frac{2}{9}\left(3m+2\right)x_2+\frac{1}{9}\left(7m-4\right),$ vì $y\text{'}\left(x_2\right)=0.$

Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\Delta :y=-\frac{2}{9}\left(3m+2\right)x+\frac{1}{9}\left(7m-4\right)$

Mà $N\left(2;-\frac{1}{3}\right)\in \Delta$ nên $-\frac{4}{9}\left(3m+2\right)+\frac{1}{9}\left(7m-4\right)=-\frac{1}{3}\iff m=-\frac{9}{5}.$