Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích

* Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi hình chóp ngũ giác đều đã cho là S.ABCDE có O là tâm của đáy ABCDE,I là trung điểm cạnh CD.

$\Rightarrow SO\perp \left(ABCDE\right)$ và $OI\perp CD\Rightarrow CD\perp \left(SOI\right).$

Lại có: $\widehat{COI}=\frac{1}{2}\widehat{COD}={36}^0\Rightarrow IC=OI.\tan {36}^0$

Dễ thấy: $S_{\Delta SCD}+S_{\Delta OCD}=\frac{1}{5}S=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{1}{2}SI.CD+\frac{1}{2}OI.CD=\frac{4}{5}\Rightarrow SI.IC+OI.IC=\frac{4}{5}$

$\Rightarrow SI.OI.\tan {36}^0+O{I}^2.\tan {36}^0=\frac{4}{5}\Rightarrow SI=\frac{4}{5.IO.\tan {36}^0}-OI$

$\Rightarrow SO=\sqrt{S{I}^2-O{I}^2}=\sqrt{{\left(\frac{4}{5.OI.\tan {36}^0}-OI\right)}^2-O{I}^2}=\sqrt{\frac{16}{25.O{I}^2.{\tan }^2{36}^0}-\frac{8}{5\tan {36}^0}}$

Thể tích khối chóp S.ABCDE là: $V=\frac{1}{3}SO.S_{ABCDE}=\frac{1}{3}SO.5S_{\Delta COD}=\frac{5}{3}SO.\frac{1}{2}OI.CD$

$=\frac{5}{3}SO.OI.IC=\frac{4}{2}\sqrt{\frac{16}{25.O{I}^2.{\tan }^2{36}^0}-\frac{8}{5\tan {36}^0}}.O{I}^2.\tan {36}^0$

$$\begin{gathered} =\frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5\tan {36}^0}}\sqrt{\left(\frac{2}{5}-O{I}^2.\tan {36}^0\right).O{I}^2.\tan {36}^0}\le \frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5\tan {36}^0}}. \\ \frac{\frac{2}{5}-O{I}^2.\tan {36}^0+O{I}^2.\tan {36}^0}{2} \end{gathered}$$

$=\frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5}\tan {36}^0}.\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{10}}{15\sqrt{\tan {36}^0}}$

Vậy: $a=2;b=15\Rightarrow T=a+b=17.$