Cho số tự nhiên n thỏa mãn C 0 n+C 1 n+C 2 n=11 số hạng chứa x^7

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

- Sử dụng công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$, giải phương trình $C_n^0+C_n^1+C_n^2=11$ tìm n.

- Sử dụng khai triển nhị thức Niu-tơn ${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$.

- Để tìm số hạng chứa $x^7$ ta cho số mũ của x trong khai triển bằng 7, giải phương trình tìm k. Với k vừa tìm được ta suy ra số hạng chứa $x^7$

Ta có:

$$\begin{gathered} C_n^0+C_n^1+C_n^2=11 \left(n\ge 2, n\in N\right) \\ \iff 1+n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=11\iff 2+2n+n^2-n=22 \\ \iff n^2+n-20=0 \end{gathered}$$

$\iff [\begin{array}{c}n=4 \left(tm\right)\\ n=-5 \left(ktm\right)\end{array}$

Khi đó ta có ${\left(x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^4=\sum _{k=0}^4{C}_4^k{\left(x^3\right)}^{4-k}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k=\sum _{k=0}^4{C}_4^k{\left(-1\right)}^k{x}^{12-5k} \left(0\le k\le 4; k\in N\right)$.

Để tìm số hạng chứa $x^7$ ta cho $12-5k=7\iff k=1 \left(tm\right)$.

Vậy số hạng chứa $x^7$ trong khai triển trên là $C_4^1.{\left(-1\right)}^1{x}^7=-4x^7$