Cho các số thực dương x;y thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

+ Từ giả thiết suy ra: $x,y\in \left[-1;1\right].$

+$$\begin{gathered} P=\sqrt{{\left(2y-1\right)}^2{x}^2+{\left(2y^2-y\right)}^2}+\sqrt{2y+2}=\sqrt{{\left(2y-1\right)}^2\left(x^2+y^2\right)}+\sqrt{2y+2} \\ =\left|2y-1\right|+\sqrt{2y+2} \end{gathered}$$

+ Đặt $P=f\left(y\right)=\left\{\begin{array}{l}2y-1+\sqrt{2y+2},\frac{1}{2}\le y\le 1\\ -2y+1+\sqrt{2y+2},-1\le y\le \frac{1}{2}\end{array}\right..$

+ Xét f(y) trên $\left[\frac{1}{2};1\right]$: Khảo sát ta được $\underset{\left[\frac{1}{2};1\right]}{\min }f\left(y\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3};\underset{\left[\frac{1}{2};1\right]}{\max }f\left(y\right)=f\left(1\right)=3.$

+ Xét f(y) trên $\left[-1;\frac{1}{2}\right]$: Khảo sát ta được $\underset{\left[-1;\frac{1}{2}\right]}{\min }f\left(y\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3};\underset{\left[-1;\frac{1}{2}\right]}{\max }f\left(y\right)=f\left(-\frac{7}{8}\right)=\frac{13}{4}.$

+ Suy ra: $\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(y\right)=\sqrt{3};\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(y\right)=\frac{13}{4}.$