Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên R

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

+ Phương trình $\iff f\left({\cos }^{2}x\right)-\frac{1}{2}{\cos }^{6}x+{\cos }^{4}x-{\cos }^{2}x=f\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}.\left(*\right)$

+ Xét hàm số $g\left(t\right)=f\left(t\right)-\frac{1}{3}{t}^3+t^2-t$ trên [0;1]

Ta có: $g\text{'}\left(t\right)=f\text{'}\left(t\right)-{\left(t-1\right)}^2$

Từ tương giao giữa đồ thị f' và Parabol $y={\left(x-1\right)}^2$ trên đoạn [0;1]

Suy ra: $f\text{'}\left(t\right)\ge {\left(t-1\right)}^2,\forall t\in \left[0;1\right]\iff g\text{'}\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]$

Hay g(t) là hàm số đồng biến trên [0;1]

+ Do đó:

$\left(*\right)\iff g\left(co{s}^{2}x\right)=g\left(\frac{1}{2}\right)\iff {\cos }^{2}x=\frac{1}{2},$ (do ${\cos }^{2}x\in \left[0;1\right])\iff \cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}).$

Dễ dàng suy ra phương trình có 3 nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};2\pi \right).$