Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $-x^3+m{x}^2-2m=0\left(1\right).$

+) Điều kiện cần:

Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm $x_1,x_2,x_3$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng $\Rightarrow -x^3+m{x}^2-2m=-\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$

Đồng nhất hệ số ta được $x_2=\frac{m}{3}.$

Thay $x_2=\frac{m}{3}$ vào phương trình (1) ta được $-\frac{m^3}{27}+\frac{m^3}{9}-2m=0$

$\iff m^3-27m=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=\pm 3\sqrt{3}\end{array}\right.$

+) Điều kiện đủ:

+ Với m=0 thì $\left(1\right)\iff x=0$ (không thỏa mãn).

+ Với $m=3\sqrt{3}$ thì $\left(1\right)\iff -x^3+3\sqrt{3}{x}^2-6\sqrt{3}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-3+\sqrt{3}\\ x=\sqrt{3}\\ x=3+\sqrt{3}\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

+ Với $m=-3\sqrt{3}$ thì $\left(1\right)\iff -x^3-3\sqrt{3}{x}^2+6\sqrt{3}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-3-\sqrt{3}\\ x=-\sqrt{3}\\ x=3-\sqrt{3}\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán