Cho tứ diện đều ABCD. M là trung điểm của BC. Khi đó cos của góc giữa hai đường thẳng nào sau

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Sử dụng định lí Cô-sin trong tam giác.

Ta có $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{6}\iff \alpha >{60}^0$.

Xét đáp án A: $\angle \left(AB;AM\right)=\angle BAM$.

Vì $∆ABC$ đều nên AM là phân giác của $\angle BAC\Rightarrow \angle BAM={30}^0$.

Do đó loại đáp án A.

Xét đáp án B và C: Giả sử ABCD là tứ diện đều cạnh 1.

Xét tam giác AMD có $AM=DM=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác AMD có:

$\cos \angle AMD=\frac{A{M}^2+M{D}^2-A{D}^2}{2AM.MD}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1}{2.\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \cos \left(AM;DM\right)=\frac{1}{3}$⇒ Loại đáp án B.

$\cos \angle ADM=\frac{A{D}^2+M{D}^2-A{M}^2}{2AD.MD}=\frac{1+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}}{2.1.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \cos \left(AD;DM\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$⇒ Loại đáp án B.

Xét đáp án D: Gọi N là trung điểm của AC.

Ta có $MN//AB\Rightarrow \angle \left(AB;DM\right)=\angle \left(MN;DM\right)$.

Ta có $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}; DM=\frac{\sqrt{3}}{2}; DM=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác DMN có:

$=\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \cos \left(AB;DM\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}$ (thỏa mãn).