Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

* Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: $\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow SE//BC;SE=BC\Rightarrow SADE$ là hình chữ nhật. Dựng hình hộp chữ nhật $SGHE.ABCD.$

Ta có: $\left(\left(BED\right),\left(SBC\right)\right)=\left(\left(BDEG\right),\left(BCES\right)\right).\left(1\right)$

Ta có tứ giác ABGS là hình vuông $\Rightarrow AG\perp SB\Rightarrow AG\perp \left(BCES\right)\left(2\right)$

Kẻ $AI\perp BD\Rightarrow AI\perp \left(BDEG\right)\left(3\right).$ Gọi $J=AI\cap BC.$

Từ (1),(2),(3) ta có $\left(\left(BED\right),\left(SBC\right)\right)=\left(AG,AJ\right)={60}^0$

Đặt AD=x. Ta có $\Delta ABJ\backsim \Delta ABD\Rightarrow \frac{BJ}{AB}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow BJ=\frac{A{B}^2}{AD}=\frac{a^2}{x}$

Từ đó ta có: $AJ=\frac{a}{x}\sqrt{a^2+x^2};GJ=\frac{a}{x}\sqrt{a^2+x^2};AG=a\sqrt{2}$

Vậy $\Delta AGJ$ cân tại $J\Rightarrow \Delta AGJ$ đều $\Rightarrow AJ=AG\Rightarrow \frac{a}{x}\sqrt{a^2+x^2}=a\sqrt{2}\Rightarrow x=a.$

Ta có tứ diện $SDCE$ là hình chóp $S.DCE$ có $SE\perp \left(CDE\right)$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.DCE là $R=\sqrt{{\left(\frac{SE}{2}\right)}^2+R_{day}^2}$

Ta có $\Delta CDE$ vuông cân tại $D\Rightarrow R_{day}=\frac{CE}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ Vậy $R=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$