Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2020;2020] để phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đưa về cùng cơ số 10.

- Giải phương trình logarit: ${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)>0$.

- Cô lập m, đưa phương trình về dạng m=f(x).

- Lập BBT của hàm số f(x), từ BBT tìm điều kiện của m để phương trình vô nghiệm.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}mx>0\\ x+1>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}mx>0\\ x>-1\end{array}\right.\right.$

Ta có $\log \left(mx\right)=2\log \left(x+1\right)\iff \log \left(mx\right)=\log {\left(x+1\right)}^2\iff mx={\left(x+1\right)}^2 \left(*\right)$

Do $x>-1\iff x+1>0\Rightarrow {\left(x+1\right)}^2>0\Rightarrow mx>0$. Do đó $x\ne 0$.

Khi đó ta có $\left(*\right)\iff m=\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x}=f\left(x\right)$, với $x>-1; x\ne 0$.

Ta có

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{2\left(x+1\right).x-{\left(x+1\right)}^2}{x^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2}=0\iff [\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-1\end{array} \end{gathered}$$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương (*) có nghiệm duy nhất $[\begin{array}{c}m<0\\ m=4\end{array}$.

Kết hợp điều kiện $m\in Z, m\in \left[-2020;2020\right]$ ta có $m\in \left[-2020;0\right)\cup \left\{4\right\}, m\in Z$.

Vậy có 2021 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.