Cho hàm số f(x)=2/sinx. Biết F(x) là một

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Cách 1:

Ta có: $F\left(x\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{2dx}{\sin x}=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{2dx}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{dx}{{\cos }^2\frac{x}{2}.\tan \frac{x}{2}}=2\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{d\left(\tan \frac{x}{2}\right)}{\tan \frac{x}{2}}=2\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C.$

$\Rightarrow F\left(x\right)=2\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C.$

Mà $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0\iff 2\ln \left|\tan \frac{\pi }{4}\right|+C=0\Rightarrow C=0\Rightarrow F\left(x\right)=2\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|=\ln {\left(\tan \frac{x}{2}\right)}^2.$

$\Rightarrow g\left(x\right)=e^{F\left(x\right)}={\tan }^2\frac{x}{2}\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=\tan \frac{x}{2}.\left(1+{\tan }^2\frac{x}{2}\right)>0,\forall x\in \left[\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3}\right].$

Do đó hàm số g(x) đồng biến trên $\left[\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3}\right]$ nên $\underset{\left[\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3}\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(\frac{2\pi }{3}\right)={\left(\tan \frac{\pi }{3}\right)}^2=3.$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $\left[\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3}\right]$ bằng 3.

Cách 2:

Ta có $g\text{'}\left(x\right)=F\text{'}\left(x\right).e^{F\left(x\right)}=\frac{2}{\sin x}.e^{F\left(x\right)}>0,\forall x\in \left[\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3}\right].$

$\Rightarrow \underset{\left[\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3}\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(\frac{2\pi }{3}\right)=e^{F\left(\frac{2\pi }{3}\right)}=e^{F\left(\frac{\pi }{2}\right)+\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{2\pi }{3}}{\int }}\frac{2dx}{\sin x}}=3.$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $\left[\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3}\right]$ bằng 3