Ông X muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích 73m^3

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là $r, h \left(m\right) \left(r, h>0\right)$. Từ thể tích của hình trụ rút h theo r.

- Tính diện tích xung quanh và diện tích đáy, diện tích nắp của hình trụ.

- Dựa vào giá tiền từng bộ phận đề bài đã cho, tính tổng chi phí.

- Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm a, b, c: $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c để tìm chi phí nhỏ nhất, từ đó tìm được r.

Giải chi tiết:

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là $r, h \left(m\right) \left(r, h>0\right)$.

Vì thể tích hình trụ là $72m^3$ nên ta có $\pi r^{2}h=72\iff h=\frac{72}{\pi r^2}$.

Diện tích thành (diện tích xung quanh) hình trụ là $2\pi rh=2\pi r.\frac{72}{\pi r^2}=\frac{144}{r} \left(m^2\right)$.

Diện tích đáy và nắp hình trụ là $\pi r^2 \left(m^2\right)$.

Chi phí là: $90.\frac{144}{r}+100\pi r^2+140\pi r^2=240\left(\frac{54}{r}+\pi r^2\right)$ (nghìn đồng).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $\frac{54}{r}+\pi r^2=\frac{27}{r}+\frac{27}{r}+\pi r^2\ge 3\sqrt[3]{\frac{27}{r}+\frac{27}{r}+\pi r^2}=27\sqrt[3]{\pi }$.

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{27}{r}=\pi r^2\iff r^3=\frac{27}{\pi }\iff r=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }} \left(m\right)$.

Vậy chi phí thấp nhất đạt được khi bán kính đáy hình trụ là $\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }} \left(m\right)$