Cho hàm số y= x^4 -2mx^2 +m, có đồ thị (C) với m là tham số thực.

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm A, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A.

- Tìm điểm cố định mà Δ đi qua với mọi m.

- Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn $\left(\gamma \right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$.

- Biện luận: Để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right)$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $d\left(I;\Delta \right)$ phải lớn nhất. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên tìm GTLN của $d\left(I;\Delta \right)$, từ đó tìm m.

Giải chi tiết:

Vì $A\in \left(C\right)$ và A có hoành độ bằng 1 nên ta có $A\left(1;1-m\right)$

Ta có $y\text{'}=4x^3-4mx\Rightarrow y\text{'}\left(1\right)=4-4m$.

Phương trình tiếp tuyến của  (C) tại A là: $y=\left(4-4m\right)\left(x-1\right)+1-m\iff \left(4-4m\right)x-y-3+3m=0 \left(\Delta \right)$

Để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right)$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $d\left(I;\Delta \right)$ phải lớn nhất.

Ta có: $d\left(I;\Delta \right)\le IF$ (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).

Vậy để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $m=\frac{17}{16}$