Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của m để đường thẳng y=m cắt đồ thị $y=x^3-3x^2$ tại 3 điểm phân biệt.

- Gọi $A\left(a;m\right); B\left(b;m\right); C\left(c;m\right) \left(a<b<c\right)$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2$ và đường thẳng y=m. Sử dụng giả thiết và định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba, lập hệ và giải hệ tìm a,b,c.

- Với mỗi cặp a,b,c tìm được, tìm m tương ứng và tính tổng các giá trị m tìm được.

Giải chi tiết:

Dựa vào BBT, để đường thẳng y=m cắt đồ thị $y=x^3-3x^2$ tại 3 điểm phân biệt thì -4<m<0.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2=m\iff x^3-3x^2-m=0 \left(*\right)$.

Khi đó gọi $A\left(a;m\right); B\left(b;m\right); C\left(c;m\right) \left(a<b<c\right)$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2$ và đường thẳng y=m thì ta có $\left\{\begin{array}{l}AB=b-a\\ BC=c-a\end{array}\right.$.

Theo bài ra ta có: $AB=2BC\iff b-a=2\left(c-b\right)\iff a-3b+2c=0$.

Lại có a,b,c là 3 nghiệm phân biệt của phương trình (*) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có