Cho tứ diện ABCD cạnh a. Gọi M là điểm

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Vì $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3},$ suy ra $IM//AC.$ Kéo dài MI cắt AB tại $N:\frac{BN}{BA}=\frac{2}{3}.$

Suy ra $NJ//AD.$ Kéo dài NJ cắt AD tại $P:\frac{BP}{BD}=\frac{2}{3}.$

Vì tứ diện đều nên DI là đường cao của tứ diện.

+) $DJ=\sqrt{A{D}^2-A{I}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3};S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Suy ra: $V_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Khi đó: $$\begin{gathered} \frac{V_{B.MNP}}{V_{B.CAD}}=\frac{BM}{BC}.\frac{BN}{BA}.\frac{BP}{BD}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}\Rightarrow V_{B.MNP}=\frac{8}{27}{V}_{B.CAD}=\frac{8}{27}.\frac{a^3\sqrt{2}}{12} \\ =\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{81}. \end{gathered}$$