Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có AB

* Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Do S.ABCD  là khối chóp tứ giác đều $\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right).$

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}\Rightarrow \frac{a^3\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}.SO.a^2\Rightarrow SO=a\sqrt{2}$.

Ta có: $d\left(C;\left(SAB\right)\right)=2.d\left(O;\left(SAB\right)\right).$

Gọi K là trung điểm AB,H là hình chiếu của O lên SK

Ta có $\left.\begin{array}{l}OK\perp AB\\ SO\perp AB\end{array}\right\}\Rightarrow \left(SOK\right)\perp AB\Rightarrow OH\perp AB.$

$\left.\begin{array}{l}OH\perp SK\\ OH\perp AB\end{array}\right\}\Rightarrow OH\perp \left(SAB\right)\Rightarrow d\left(O;\left(SAB\right)\right)=OH.$

Xét tam giác SOK vuông tại O có OH là đường cao.

$\Rightarrow \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{K}^2}+\frac{1}{S{O}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{9}{2a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

$\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=2.d\left(O;\left(SAB\right)\right)=\frac{2a\sqrt{2}}{3}.$