Cho các số thực x,y thay đổi và thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

ĐK: $y\ne 0.$

Phương trình $\iff 6y+3y\sqrt{9y^2+3}=\left(2-4x\right)+\left(2-4x\right)\sqrt{x^2-x+1}$

$\iff 6y+3y\sqrt{9y^2+3}=2\left(1-2x\right)+\left(1-2x\right)\sqrt{4y^2-4y+4}$

$\iff 2.3y+3y\sqrt{{\left(3y\right)}^2+3}=2\left(1-2x\right)+\left(1-2x\right)\sqrt{{\left(1-2x\right)}^3+3}$

$\iff f\left(3y\right)=f\left(1-2x\right)\left(1\right)$ với $f\left(t\right)=2t+t\sqrt{t^2+3},\forall t\in ℝ.$

Có $f\text{'}\left(t\right)=2+\sqrt{t^2+3}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}}>0,\forall t\in ℝ$ nên f(t) đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Do đó $\left(1\right)\iff 3y=1-2x.$ Suy ra $P=1-2x+x^2-\sqrt{2}={\left(x-1\right)}^2-\sqrt{2}\ge -\sqrt{2}.$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-\frac{1}{3}\end{array}\right..$ Vậy $\min P=-\sqrt{2}.$ Chọn C