Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Có A' cách đều ba đỉnh A,B,C nên hình chóp A'.ABC là hình chóp tam giác đều

$\Rightarrow A\text{'}H\perp \left(ABC\right)$ với H là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi $O=A\text{'}B\cap AB\text{'},O\text{'}=A\text{'}C\cap AC\text{'}.$ Khi đó $\left(A\text{'}BC\right)\cap \left(AB\text{'}C\text{'}\right)=OO\text{'}.$

Lại có trong $\left(A\text{'}BC\right),A\text{'}I\perp OO\text{'}$ tại J với I là trung điểm BC

Trong $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)$ có $AI\perp OO\text{'}$ tại J (có $\Delta AA\text{'}B=\Delta AA\text{'}C\Rightarrow AO=AO\text{'}$ và J là trung điểm OO'

$\Rightarrow \left(\left(A\text{'}BC\right),\left(AB\text{'}C\text{'}\right)\right)=\left(A\text{'}I,AJ\right)={90}^0$, mà ta dễ dàng chứng minh được J là trung điểm A'I hay trong tam giác $A\text{'}AI$ thì AJ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

$\Rightarrow \Delta A\text{'}AI$ là tam giác cân tại A hay $AA\text{'}=AI=a\sqrt{3}.$

Khi đó: $h=A\text{'}H=\sqrt{AA{\text{'}}^2-{\left(\frac{2}{3}AI\right)}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3}a\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{15}}{3}.$

Vậy $V=S_{ABC}.A\text{'}H={\left(2a\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{15}}{3}=a^3\sqrt{15}.$