Cho phương trình (log5x^2020-mx)

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 2{\log }_{2}x-x\ge 0\end{array}\right.$

Với điều kiện trên, pt trở thành $\left[\begin{array}{l}2{\log }_{2}x-x=0\\ {\log }_5{x}^{2020}-mx=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2{\log }_{2}x-x=0\left(1\right)\\ \frac{{\log }_5{x}^{2020}}{x}=m\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình $\left(1\right):f\left(x\right)=2{\log }_{2}x-x=0$

Ta có $f\left(2\right)=f\left(4\right)=0\Rightarrow x=2;x=4$ là hai nghiệm của phương trình.

Với $x\in \left(2;4\right)$ ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{x\ln 2}-1=\frac{2-x\ln 2}{x\ln 2}=0;f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\frac{2}{\ln 2}$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra (1) có hai nghiệm x=2;x=4

Do đó để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt trên khoảng (2;4)

$\left(2\right)\iff g\left(x\right)=\frac{2020.{\log }_{5}x}{x}=m$ vì x>0

Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{2020{\log }_{5}x}{x}$ trên khoảng (2;4) có

$g\text{'}\left(x\right)=\frac{2020{\log }_{5}e-2020{\log }_{5}x}{x^2};g\text{'}\left(x\right)=0\iff x=e$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để (2) có hai nghiệm phân biệt thì $434,98<m<461,72$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{435;436;\mathrm{...};461\right\}$

Vậy có 27 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán