Cho hàm số y=|x^2 -2x-4 căn(x+1)(3-x) +m-3| Tính tổng tất cả bao

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Xét $g\left(x\right)=x^2-2x-4\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}+m-3$

TXĐ: $D=\left[-1;3\right],g\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [-1;3]

Đặt $t=\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=\sqrt{-x^2+2x+3}\Rightarrow t\text{'}=\frac{-x+1}{\sqrt{-x^2+2x+3}}$

Cho $t\text{'}=0\iff -x+1=0\iff x=1$ (nhận)

$t\in \left[0;2\right].$

Khi đó: $g\left(t\right)=-t^2-4t+m,\forall t\in \left[0;2\right].$

$g\text{'}\left(t\right)=-2t-4$

Cho $g\text{'}\left(t\right)=0\iff t=-2$ (loại)

Khi đó

$\underset{\left[-1;3\right]}{max}y=\underset{\left[-1;3\right]}{max}\left\{\left|m\right|;\left|m-12\right|\right\}=2020$

TH1: $\left\{\begin{array}{l}\left|m\right|>\left|m-2\right|\\ \left|m\right|=2020\end{array}\right.\iff m=2020$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}\left|m\right|<\left|m-2\right|\\ \left|m-2\right|=2020\end{array}\right.\iff m=-2008$

Từ đó ta được: $m_1+m_2=12$ nên chọn đáp án D.