Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x^3 z/y^2(xz+y^2) +y^4/z^2 (xz+y^2) +z^3 +15x^3/x^2 z

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: $P=\frac{x^{3}z}{y^2\left(xz+y^2\right)}+\frac{y^4}{z^2\left(xz+y^2\right)}+\frac{z^3+15x^3}{x^{2}z}=\frac{{\left(\frac{x}{y}\right)}^3}{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)}+\frac{{\left(\frac{y}{z}\right)}^3}{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)}+{\left(\frac{z}{x}\right)}^2+\frac{15}{\frac{z}{x}}$

Đặt $a=\frac{x}{y}<1,b=\frac{y}{z}<1,c=\frac{z}{x}>1$ và $abc=1\iff ab=\frac{1}{c}.$

Ta được:

$$\begin{gathered} P=\frac{a^3}{\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{\left(a+b\right)}+c^2+\frac{15}{c}=a^2+b^2-ab+c^2+\frac{15}{c}\ge ab+c^2+\frac{15}{c} \\ =c^2+\frac{16}{c}=c^2+\frac{8}{c}+\frac{8}{c}\ge 3\sqrt[3]{c^2.\frac{8}{c}.\frac{8}{c}}=12. \end{gathered}$$

Vậy $P_{\min }=12$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ abc=1\\ c^2=\frac{8}{c}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ c=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{2}}y\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}z\\ z=2x\end{array}\right..$