Cho hình lăng trụ đứng ANC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua B. Khi đó A'B//B'D

Suy ra: $d\left(A\text{'}B;B\text{'}C\right)=d\left(A\text{'}B;\left(B\text{'}CD\right)\right)=d\left(B;\left(B\text{'}CD\right)\right).$

Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với CD và cắt CD tại K

Tam giác ACD vuông tại C (vì BA=BC=BD có B là trung điểm của AD nên K là trung điểm của $CD.BK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a.$

Kẻ $BH\perp B\text{'}K$ tại H suy ra: $d\left(B;\left(B\text{'}CD\right)\right)=BH.$

Ta có: $\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{B{K}^2}+\frac{1}{BB{\text{'}}^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{9}{2a^2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

Vậy $d\left(B;\left(B\text{'}CD\right)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$