Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có góc BAC=120 độ, BC=AA'=a

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi I là hình chiếu của A trên BC, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}AI\perp BC\\ AI\perp BB\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow AI\perp \left(BCC\text{'}B\text{'}\right)\Rightarrow AI\perp BM\left(1\right).$

Mặt khác, theo giả thiết: $A\text{'}B\perp BM\left(2\right).$

Từ (1) và (2) suy ra $BM\perp \left(AB\text{'}I\right)\Rightarrow BM\perp B\text{'}I.$

Gọi $E=B\text{'}I\cap BM,$ ta có: $\widehat{IBE}=\widehat{BB\text{'}I}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{BIB\text{'}}).$

Khi đó $\Delta B\text{'}BI=\Delta BCM\left(g.c.g\right)\Rightarrow BI=CM=\frac{a}{2}\Rightarrow I$ là trung điểm cạnh $BC\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A.

Gọi F là hình chiếu của E trên AB'; có EF là đoạn vuông góc chung của AB' và BM

Suy ra $d\left(BM,AB\text{'}\right)=EF.$

Ta có $AI=BI.\cot {60}^0=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6};B\text{'}I=\sqrt{BB{\text{'}}^2+B{I}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}=BM.$

$$\begin{gathered} IE=BI.\sin \widehat{EBI}=BI.\frac{CM}{BM}=\frac{a}{2}.\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{10}\Rightarrow B\text{'}E=B\text{'}I-IE=\frac{2a\sqrt{5}}{5}. \\ AB\text{'}=\sqrt{A{I}^2+B\text{'}I{\text{'}}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)}^2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}. \end{gathered}$$

Mặt khác: $\Delta B\text{'}IA$ đồng dạng $\Delta B\text{'}FE$ nên $\frac{B\text{'}A}{B\text{'}E}=\frac{IA}{EF}\iff EF=\frac{IAB\text{'}E}{B\text{'}A}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}.\frac{2a\sqrt{5}}{5}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{10}.$

Vậy $d\left(BM,AB\text{'}\right)=\frac{a\sqrt{5}}{10}.$