Cho hàm số y=f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d . Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Vì đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên f(x) là hàm số bậc 3 $\Rightarrow a\ne 0.$

Từ giả thiết ta có: $f\left(x\right)=a\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\iff f\left(x\right)=\frac{1}{6}a\left(6x^3+x^2-4x+1\right).$

Khi đó: $y\text{'}=\frac{1}{6}a\left(18x^2+2x-4\right)=0\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{18}$

Suy ra đồ thị hàm số y=f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.

Từ đó ta có phương trình $f\left[\sin \left(x^2\right)\right]=f\left(0\right)\iff \left[\begin{array}{l}\sin \left(x^2\right)=a_1\in \left(-1;0\right)\left(1\right)\\ \sin \left(x^2\right)=0\left(2\right)\\ \sin \left(x^2\right)=a_2\in \left(\frac{1}{2};1\right]\left(3\right)\end{array}\right.$

* Giải (1)

Vì $x\in \left[-\sqrt{\pi };\sqrt{\pi }\right]$ nên $x^2\in \left[0;\pi \right]\Rightarrow \sin \left(x^2\right)\in \left[0;1\right].$ Do đó phương trình (1) không có nghiệm thỏa mãn đề bài.

* $\left(2\right)\iff x^2=k\pi .$

Vì $x^2\in \left[0;\pi \right]$ nên ta phải có $0\le k\pi \le k,\pi \in Z\iff 0\le k\le 1,k\in Z\Rightarrow k\in \left\{0;1\right\}.$

Suy ra phương trình (2) có 3 nghiệm thỏa mãn là: $x_1=-\sqrt{\pi };x_2=0;x_3=\sqrt{\pi }.$

* $\left(3\right)\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=\arcsin a_2+k2\pi \\ x^2=\pi -\arcsin a_2+k2\pi \end{array}\right.,$ (với $\arcsin a_2\in \left[\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right]).$

Vì $x^2\in \left[0;\pi \right]$ nên ta thấy phương trình (3) có các nghiệm thỏa mãn là $x=\pm \sqrt{\arcsin a_2}$ và $x=\pm \sqrt{\pi -\arcsin a_2}.$

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.