Bài 48 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau:

a)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr
xy = 96 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 55 \hfill \cr
xy = 24 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(S = x + y; P = xy\)

Ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P = 208 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} = 400 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) 

+ Với \(S = 20, P = 96\)  thì x, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} - 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 8 \hfill \cr
X = 12 \hfill \cr} \right.\) 

Ta có nghiệm \((8, 12)\) và \((12, 8)\)

+ Với \(S = -20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = - 8 \hfill \cr
X = - 12 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm \((-8, -12)\) và \((-12, -8)\)

Vậy hệ có 4 nghiệm : \((8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)\)

b) Thay \(y = {{24} \over x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :

\({x^2} - {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} - 55{x^2} - 576 = 0\)

Đặt \(t = x^2\;(t ≥  0)\), ta có phương trình:

\({t^2} - 55t - 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 64 \hfill \cr
t = - 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.\)

\(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8\)

Nếu \(x = 8 ⇒ y = 3\)

Nếu \(x = -8 ⇒  y = -3\)

Vậy hệ có hai nghiệm \((8;3)\) và \((-8;-3)\)