Bài 3 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Bài 3. Chứng minh các hệ thức sau

a) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\);

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,(\alpha  \ne {90^0})\);

c) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,({0^0} < \alpha  < {180^0})\).

Hướng dẫn giải

a) Giả sử \(M\,(x\,;\,y)\) trên đường tròn đơn vị, \(\widehat {MOx} = \alpha \). Ta có

         \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {x^2} + {y^2} = O{M^2} = 1.\)

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\) .

c)  \(1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\).