Bài 4 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^2 - x\sqrt x + 1\);

b) \(y = \sqrt {(2 - 5x -  x^2)}\);

c) \(y =  \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( \(a\) là hằng số);

d) \(y =  \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}};\,\,\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = {x^2} - x\sqrt x + 1\\
\Rightarrow y' = 2x - \left( {\sqrt x + x.\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\\
\,\,\,\,\,\,y' = 2x - \sqrt x - \frac{{\sqrt x }}{2}\\
\,\,\,\,\,\,y' = 2x - \frac{{3\sqrt x }}{2}\\
b)\,\,y = \sqrt {2 - 5x - {x^2}} \\
\Rightarrow y' = \frac{{\left( {2 - 5x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }}\\
\,\,\,\,\,y' = \frac{{ - 2x - 5}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }}\\
c)\,\,y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\,\,\left( {a = const} \right)\\
\Rightarrow y' = \frac{{3{x^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}} - {x^3}.\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{{3{x^2}\left( {{a^2} - {x^2}} \right) + {x^4}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{{3{x^2}{a^2} - 2{x^4}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}}\\
d)\,\,y = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}\\
\Rightarrow y' = \frac{{\sqrt {1 - x} - \left( {1 + x} \right)\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{{2\left( {1 - x} \right) + \left( {1 + x} \right)}}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{{3 - x}}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}}}
\end{array}\)