Bài 2 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho hàm số \(y = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}\)

a) Tính \(A = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}\) , biết rằng \(\tan α = 0,2\)

b) Tính đạo hàm của hàm đã cho.

c) Xác định các khoảng trên đó \(y’\) không dương.

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng công thức \(\sin 2\alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) với \(t = \tan \alpha \) tính \(sin\2alpha\), từ đó tính giá trị của biểu thức A.

b) Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm của hàm lượng giác.

c) Giải bất phương trình \(y'\le 0\).

Lời giải chi tiết

a) Tính \(A\)

Đặt \(t= \tan α = 0,2\), ta có: 

\(\eqalign{
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cr
& = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} \cr
& = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha (1 + {{\tan }^2}\alpha )}} \cr
& = {{2\sin \alpha } \over {\cos \alpha (1 + ta{n^2}\alpha )}} \cr
& = {{2\tan \alpha } \over {1 + ta{n^2}\alpha }} = {{2t} \over {1 + {t^2}}} \cr} \)

Với \(t = 0,2\) ta có:

 \(A = {5 \over {6 + 7.{{2t} \over {1 + {t^2}}}}} = {5 \over {6 + {{14.0,2} \over {1 + {{(0,2)}^2}}}}} = {{65} \over {113}}\)

b) Tính đạo hàm

\(y' = {{-5(6 + 7\sin 2x)'} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}} = {{-70.cos2x} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}}\)

c) Các khoảng mà trên đó y' không dương.

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow y' \le 0,x \in D \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\cos 2x \ge 0 \hfill \cr
\sin 2x \ne {{ - 6} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \in \left[ { - {\pi \over 2} + k2\pi ;{\pi \over 2} + k2\pi } \right] \hfill \cr
\sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in \left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + k\pi } \right] \hfill \cr
\sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right. (k \in \mathbb Z) \cr} \)