Câu 8 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₁B₁C₁,…, tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, … . Gọi p₁, p₂, ..., p_n, … và S₁, S₂, …, S_n, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

a. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

b. Tìm các tổng

\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ...\,va\,{S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\({p_1} = {a \over 2} + {a \over 2} + {a \over 2} = {{3a} \over 2};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{p_2} = {{3a} \over 4} = {{3a} \over {{2^2}}},...,{p_n} = {{3a} \over {{2^n}}}\)

(chứng minh bằng qui nạp)

Vì  \(\lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\,nen\,\lim {p_n} = 0\)

Diện tích ta\) giác ABC là \(S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\). Diện tích tam giác A₁B₁C₁là  \({S_1} = {S \over 4}\)

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác 

\({A_n}{B_n}{C_n}\,la\,{S_n} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.{\left( {{1 \over 4}} \right)^n}\)

Vì  \(\lim {\left( {{1 \over 4}} \right)^n} = 0\,nen\,\lim {S_n} = 0\)

b. Ta có (p_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = {1 \over 2},\) do đó :

\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = {{{p_1}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2{p_1} = 3a\)

(S_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q' = {1 \over 4}\) do đó :

\({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = {{{S_1}} \over {1 - {1 \over 4}}} = {4 \over 3}{S_1} = {S \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)