Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với \(\alpha ,a,b\)là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\), trong đó

\(\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)

a. Cho hai điểm \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'

b. Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'

c. Phép F có phải là phép dời hình hay không ?

d. Khi \(\alpha = 0\), chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến

Hướng dẫn giải

a) M’ có tọa độ \({(x_1},{\rm{ }}y{_1})\) với \(\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)

N’ có tọa độ \({(x_2},{\rm{ }}y{_2})\) với \(\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)

b) Ta có \(d=MN=\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \)

\(\eqalign{
& d' = M'N' = \sqrt {{{\left( {x{'_1} - x{'_2}} \right)}^2} + {{\left( {y{'_1} - y{'_2}} \right)}^2}} \cr
& = \sqrt {{{\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\cos \alpha - \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\sin \alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\sin \alpha + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\cos \alpha } \right]}^2}} \cr
& = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha } \cr
& = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \cr} \)

c) Từ câu b suy ra \(MN=M'N'\) do đó \(F\) là phép dời hình.

d) 

\(Khi\,\,\alpha = 0,\,\,\text{ ta có }\,\,\left\{ \matrix{
x' = x + a \hfill \cr
y' = y + b \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(F\) là phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right).\)