Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD

Hướng dẫn giải

Định lí Menelaus

Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc

phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :

\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)

Áp dụng định lí để giải bài toán

Gọi {I} = PR ∩ AC

Trong mp(ACD) goi {S} = QI ∩ AD

Thì {S} = AD ∩ (PQR)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC

với cát tuyến PRI ta có

\({{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1 \Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1\)

\( \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\) ⇒ C là trung điểm của AI.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD

với cát tuyến IQS ta có :

\({{IC} \over {IA}}.{{QD} \over {QC}}.{{SA} \over {SD}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.1.{{SA} \over {SD}} = 1 \)

\(\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)\)