Câu 2 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, \(\widehat {ASB} = 120^\circ ,\widehat {BSC} = 60^\circ ,\widehat {CSA} = 90^\circ \) .

a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông

b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = \left( {\overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SC} } \right)\left( {\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC} } \right)  \cr  &  = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SB}  + S{C^2}  \cr  &  = {a^2}\cos 120^\circ  - {a^2}\cos 90^\circ  - {a^2}\cos 60^\circ  + {a^2}  \cr  &  = {a^2} - {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} = 0  \cr  &  \Rightarrow CA \bot CB \cr} \)

⇒ ΔABC vuông tại C.

b. Kẻ SH ⊥ mp(ABC), do SA = SB = SC nên HA = HB = HC mà ΔABC vuông tại C nên H là trung điểm của AB. Ta có:

\(S{H^2} = S{A^2} - {{A{B^2}} \over 4} = {a^2} - {{3{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 4}\)

\(\Rightarrow SH = {a \over 2}\)